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「好彩赌博是正规的吗」难倒犹太人的11个数学问题

作者:ag手机投注  点击量:449 发布日期:2020-01-09 12:09:10

「好彩赌博是正规的吗」难倒犹太人的11个数学问题

好彩赌博是正规的吗,一问一答

你会几个

很多年以前,要想进入莫斯科国立大学的数学系,你必须通过四项入学考试;头两个都是数学考试,一个笔试,一个面试。

在面试中,学生和考官都是一对一的,考官可以自由向学生提出任何他喜欢的问题。

考官们都准备了很多“棺材问题”,这些问题的答案非常简单,但由于思路太巧妙了,以至于学生很难想到。考官便可以以“你连这个都没想到”为理由,光明正大地拒绝学校不想要的人(主要是犹太人)。

民间还流传着很多其他的“棺材问题”列表。 ilan vardi 曾经写过一篇题为 mekh-mat entrance examinations problems 的论文,收集了 25 个“棺材问题”,并给出了解答。这篇论文被收录进了 you failed your math test, comrade einstein 一书中。 ilan vardi 发现,这 25 个问题的“难法”有所不同。虽然其中不乏思路奇巧的好题,但也有不少步骤繁琐(当然也有可能是还没找到好的解法)、题意不清甚至结论错误的题目。

这里,我选取了 11 个比较有意思的问题,写下来和大家分享。

找出所有的函数 f(x): r→r ,使得对于任意两个实数 x₁ 、 x₂ 都满足 f(x₁) – f(x₂) ≤ (x₁ – x₂)² 。

答案:不等式可以变为 (f(x₁) – f(x₂)) / |x₁ – x₂| ≤ |x₁ – x₂| ,于是我们立即可知,对于任意实数 x₂ ,函数在 x₂ 处的导数都为 0 。因此, f(x) 是常函数。

给定三角形 abc ,用尺规作图找出 ab 上的一点 k 以及 bc 上的一点 m ,使得 ak = km = mc 。

答案:先在 bc 上任取一个点 m’ ,然后用圆规截取 ad = cm’ 。过 d 作 ac 的平行线,以 m’ 为圆心 m’c 为半径作圆,与这条平行线交于点 k’ 。过 k’ 作 ab 的平行线。

容易看出,此时 a’k’ = k’m’ = m’c ,并且三角形 a’b’c 与整个大三角形 abc 是相似的。如果以 c 为中心将 a’b’c 放大到 abc ,就可以得到满足要求的 k 点和 m 点了。

因此,我们延长 ck’ ,并把它与 ab 的交点记为点 k ,这个点 k 就是要求的点。既然 ak 的长度知道了, m 点的位置也就确定了。

解方程

答案:令 x = (y^3 + 1) / 2 ,原式就变成了 y = (x^3 + 1) / 2 。如果令函数 f(t) = (t^3 + 1) / 2,你会发现 x 和 y 同时满足 f(x) = y 和 f(y) = x 。然而函数 f(t) 是严格单调递增的,因此 x 一定等于 y 。

于是,方程就变成了 y^3 – 2y + 1 = 0 。等式左边可以变为 (y^3 – y^2) + (y^2 – y) – (y – 1) ,进而分解为 (y – 1)(y^2 + y – 1) 。于是得到方程的三个解: y = 1 和 y = (- 1 ± √5) / 2 。

给定平面上的一个点 m 以及一个角 xoy 。用尺规作图确定出一条过 m 的直线,使得它与这个角的两边围成的三角形周长为一个给定值 p 。

答案:在角的两边上分别作出 a 、 b 两点,使得 ao = bo = p / 2 。过 a 、 b 两点分别作所在直线的垂线,两垂线交于点 c 。不难看出, ac 和 bc 的长度相等。

事实上,如果以 c 为圆心作一个经过 a 、 b 的圆,这个圆将正好和角 xoy 的两边切于 a 、 b 两点。

现在,过 m 作这个圆的切线,将切点记为 t 。只需要注意到 pt = pa ,并且 qt = qb ,因此三角形 opq 的周长就等于 ao + bo ,也就是 p 。

补充一下切线的作法:以 mc 为直径作圆,与圆 c 交于点 t 。于是 ∠ctm 是一个直角,因而 mt 就是切线。

给定一个等边三角形 abc ,以及三角形内的一个点 o ,满足 ∠aoc = x , ∠boc = y 。如果用线段 ao 、 bo 、 co 组成一个三角形,它的各个内角是多少(用 x 和 y 来表示)?

答案:将整个三角形绕着点 a 顺时针旋转 60 度,把 b 和 o 的落点分别记作 b’ 和 o’ 。这样的话, ∠ao’b 和 ∠bo’b’ 的角度也是 x 和 y ,并且 co = bo’ 。

另外,由于 ao 与 ao’ 长度相等且夹角为 60 度,因此三角形 aoo’ 是等边三角形, ao = oo’ 。

因此,三角形 boo’ 的三边长度实际上就分别等于 ao 、 bo 、 co 。根据已知条件很容易算出它的三个内角度数,它们分别是 x – 60° 、 y – 60° 和 300° – x – y 。

给定平面上的两条相交直线。到这两条直线的距离和等于某个给定值 p 的所有点将组成一个什么样的图形?

答案:一个矩形。假设有一个等腰三角形 abc ,底边 bc 上有一个动点 p 。把三角形腰长记为 l ,把 p 到两腰的距离分别记作 pm 和 pn 。线段 ap 将三角形 abc 分成了左右两个小三角形,它们的面积和 (l · pm) / 2 + (l · pn) / 2 = l · (pm + pn) / 2 是一个定值(即整个三角形的面积),因此 pm + pn 也是一个定值。这个定值就是等腰三角形腰上的高。

两条相交直线将产生四个角,每个角里都有这么一个“底边”。这四条“底边”组成了一个矩形。

能否在平面上放置六个点,使得任意两点之间的距离都是整数,并且任意三点不共线?

答案:可以。我们先专心构造出任意两点之间的距离都是有理数的点集,再把所有点的坐标都扩大一个相同的倍数即可。把三边长分别为 3 、 4 、 5 的经典直角三角形放在平面直角坐标系上,斜边放在 x 轴上,斜边的中点和原点重合。那么,斜边上的高 ch 一定是有理数,因为由面积法可知它等于 ac · bc / ab 。另外,由于 △ahc 、 △bhc 、 △abc 都是相似的,它们都是 3 : 4 : 5 的三角形,可知 ah 、 bh 也都是有理数。另外, c 到原点 o 的距离也是有理数,因为它是直角三角形斜边上的中线,它等于斜边长度的一半。

现在,把 c 沿着 x 轴翻折到 c’ ,再把 c 和 c’ 分别沿 y 轴翻折到 d 和 d’ 。于是 a 、 b 、 c 、 c’ 、 d 、 d’ 就是满足要求的六个点。为了去掉分母,我们需要把它们的坐标都扩大到原来的 10 倍,于是得到一个答案:(±25, 0) 以及 (±7, ±24) 。

事实上,我们有办法构造出平面上任意多个点,使得它们两两之间距离都为整数,同时任意三点都不共线。

给出 ab 、 bc 、 cd 、 da 四条边的长度,以及 ab 和 cd 两边中点的连线长度,用尺规作图还原出四边形 abcd 来。

答案:让我们先来看一个简单的问题:已知三角形其中两边的长以及第三边上的中线,如何用尺规作图还原出这个三角形来?我们可以先倍长中线 ad 到 e ,容易看出 be 和 ac 平行且相等。我们已经知道 ab 、 be 和 ae 的长度( ae 的长度就是两倍的 ad ),便能确定出三角形 abe 来。然后,截取 ae 的一半 ad ,再把 be 平移到 ac ,就得到要求的三角形 abc 了。

回到原问题。将 ab 的中点记为 e 。把 ad 和 bc 分别平移到 ed’ 和 ec’ 。于是, cc’ 和 dd’ 是平行且相等的(它们都平行且等于 ab 的一半),如果把 c’d’ 和 cd 的交点记作 f ,那么 △cc’f 和 △dd’f 是全等的, f 既是 cd 的中点,又是 c’d’ 的中点。由于我们知道 ec’ 、 ef 、 ed’ 的长度,用刚才的方法我们就能画出三角形 ec’d’ 了。

现在,把 bc 平移到 ac” ,容易看出 △ec’d’ 和 △ac”d 是全等的,而 cc” 和 cd 的长度是已知的。这样一来,问题就解决了。把刚才画的三角形当作 △ac”d ,再以 c” 和 d 为圆心分别作圆,找出 c 点的位置。最后把 ac” 平移到 bc ,我们就作出了四边形 abcd 的全部四个顶点。

给定线段 ab ,再预先给定一条与 ab 平行的直线。只用直尺作图,将线段 ab 六等分。

答案:在平行线上任取 c 、 d 两点。我们可以用如下方法找出 cd 的中点:先在平面上取一个点 e ,然后依次作出 f 、 g 、 h 、 i 各点,那么 i 就是 cd 的中点。

现在,对 cd 上的每一个小线段继续平分下去,直到把 cd 分为八等分。用下图的方法把 ab 分为六等分。

10

给定正方形各边上的一个点。用尺规作图恢复出这个正方形来。

答案:假设 a 、 b 、 c 、 d 依次是正方形四条边上的点。过 b 作 ac 的垂线,截取 bd’ = ac 。那么, d’ 也在正方形上, d 和 d’ 的连线就是正方形的其中一条边。剩下的事情就简单了。

11

两条水平线之间有一段严格单调递增的函数。函数上有一个动点 p 。过 p 点作一条竖直线,它与其他已有线条围成了两块阴影面积。当 p 运动到什么位置时,阴影面积之和最小?

答案:当 p 运动到两条水平线正中间(到两条水平线距离相等)时,阴影面积之和最小。此时,如果 p 往右移动,将导致下边面积增加的速度超过上边面积减少的速度;如果 p 往左移动,将导致上边面积增加的速度超过下边面积减少的速度。因此,这个 p 点就是答案。

-end-

本文由超级数学建模编辑和整理

本文来自http://www.matrix67.com/blog/archives/4649

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